Einfache Kartennetzentwürfe der Erde

Allgemeines

Im folgenden soll die Erde grundsätzlich als ideale Kugel, und nicht als Rotationsellipsoid betrachtet werden.
Die Kugeloberfläche kann prinzipiell nicht verzerrungsfrei in eine Ebene überführt werden. Eine Abbildung erfolgt daher durch Projektion der Kugel auf eine Ebene, einen Zylinder oder einen Kegel. Derartige Abbildungen können zumindest teilweise längentreu, winkeltreu oder flächentreu sein, jedoch niemals alle Bedingungen zugleich efüllen. Daraus folgt, dass es nicht die Projektion gibt, sondern man muss nach den jeweiligen Anforderungen das am besten Passende wählen.
Hier sollen nur die beiden erstgenannten Möglichkeiten an ausgewählten Fällen untersucht werden.

Bezeichnungen

λ - geographische Länge
φ - geographische Breite
λ₀ - geographische Länge der Bildmitte
φ₀ - geographische Breite der Bildmitte
ξ, η - Koordinaten der Projektionsfläche

Projektionen auf eine Ebene

Bei allen nachfolgend behandelten Projektionen ist eine beliebige Lage des Kartenmittelpunktes möglich. Für die Berechnung ermittelt man zunächst die Hilfsgrößen U und V, bzw. sinnvollerweise die Sinus und Cosinuswerte dieser Hilfswinkel [1].

(1)

Orthographische Projektion

	Es handelt sich hier um eine Parallelprojektion, mit der genau eine Hälfte der Erdkugel dargestellt werden kann. Die Ränder sind perspektivisch verkürzt und die Darstellung ist weder winkel- noch flächentreu. Die Projektionsebene schneidet den Erdmittelpunkt. Sinnvollerweise lassen sich nur die über dieser Ebene liegenden Punkte darstellen.
	Transformationsformel (2)

Flächentreuer Azimutalentwurf

	Diese Projektion ist flächentreu und die Projektionsebene tangiert die Erdkugel im Kartenmittelpunkt.
	Transformationsformel (3)

Stereographische Projektion

Diese Darstellung ist eine Zentralprojektion. Die Projektionsebene schneidet den Erdmittelpunkt und das Projektionszentrum liegt auf der dem Kartenmittelpunkt gegenüberliegenden Seite der Erdkugel. Die Darstellungsart ist winkel- und kreistreu. Dies bedeutet, dass alle Breiten- und Längenkreise auch in der Prokektion als Kreis (oder Linie) dargestellt werden. Gebiete in der Nähe des Projektionszentrums können nicht dargestellt werden.

Transformationsformel (4)

Koordinaten auf der Projektionsebene

Die rechtwinkligen Koordinaten auf der Projektionsebene ergeben sich schließlich zu:

(5)

Projektionen auf einen Zylinder

Eine allgemeine Lage des Kartenmittelpunktes ist bei den Zylinderprojektionen nicht möglich, insbesondere ist die Breite nicht frei wählbar, da der Projektionszylinder die Erdkugel im Äquator tangieren muss (Andernfalls werden die völlig gleichberechtigten Längenkreise sehr unterschiedlich projiziert, was keine sinnvolle Darstellung ergeben würde).

Abstandstreuer Zylinderentwurf

	Die Projektionsebene ist ein Zylinder, der die Erde im Äquator schneidet, der Äquator wird folglich längentreu abgebildet. Alle Längenkreise werden längentreu dargestellt, haben also dieselbe Größe wie der Äquator. Zu den Polen hin nimmt die Verzerrung zu, der Pol selbst entartet zu einer Linie. Die Darstellung ist weder flächen- noch winkeltreu.
	Transformationsformel (6)

Flächentreuer Zylinderentwurf (nach Lambert)

	Auch bei dieser Projektion ist die Projektionsebene ein Zylinder, der die Erde im Äquator schneidet. Die Darstellung ist flächentreu. Zu den Polen hin nimmt die Verzerrung zu, der Pol selbst entartet zu einer Linie.
	Transformationsformel (7)

Winkeltreuer Zylinderentwurf (Mercator-Projektion)

Diese Darstellung geht auf den Geographen Gerhard Kremer (latinisiert: Mercator) zurück, der wegen der Winkeltreue insbesondere in Seekarten Anwendung findet. Am Äquator ist die Abbildung längentreu, an den Polen werden die Verzerrungen unendlich groß, das heißt, die polnahen Gebiete lassen sich nicht darstellen. Grönland wird z.B. etwa so groß wie Afrika dargestellt, hat tatsächlich jedoch nur rund 7% der Fläche Afrikas.

Transformationsformel (8)

Alle Grafiken wurden mit eigener Software erstellt.

Zur Hauptseite